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附錄 模型

Markowitz (1952)提出的投資組合模型，又稱為均值-變異數投資

組合模型，該模型為現代投資理論的基礎。此模型是建立在給定報酬

下，極小化風險值來達到「最適配置」的資產優化配置模型，其目標

限制式如下：

1
min   w Σw , (1)
2
T
w p 2

T
s . E(w r)= ,
t
T
w 1  1,

1
2
其中  為投資組合報酬的變異數，n 為資產個數，w 為 n 之資
p
1
產權重矩陣， Σ 為 n n 之資產報酬共變異矩陣，r 為 n 之資產

1
1
T
報酬率矩陣，E(w r )   為 n 之資產預期報酬率向量， 1 為 n 之
每一項皆為 1 的向量。其經濟意義是投資者可以先設立一個預期報

酬，並透過調整資產間的投資權重，使投資組合整體風險最小。

上述目標限制式 (1) 可藉由拉格朗日 (Lagrange multiplier) 求

得。首先，我們將 (1) 式改寫為拉格朗日展開多項式，可得：
1

 w Σ
T
L T w+  1 (1 w 1 )  2 (  E(w T r )) (2)
2
再從 (2) 式分別對 w 及拉格朗日常數  、 進行偏微分，並令其
2
1
偏微分等於 0，可得：

L  1 w 1  0 ； w 1  1， (3)
T
T
  1
L    E(w r )  ； E(w r )  ， (4)
T

T
0
  2
1
L   2Σw     r 
1
 W 2 1 2 E( ) 0 。 (5)
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