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附錄 I: Markowitz 模型

Markowitz (1952)提出的投資組合模型，又稱為均值-變異數投資

組合模型，該模型為現代投資理論的基礎。此模型是建立在給定報酬

下，極小化風險值來達到「最適配置」的資產優化配置模型，其目標

限制式如下：

1
T
min   w Σw ( 1 )
2
w p 2
. E(w r)= ，
s t T 

T
w 1  1，

1
2
其中  為投資組合報酬的變異數， n 為資產個數， w 為 n 之
p
1
資產權重矩陣， Σ 為 n n 之資產報酬共變異矩陣，r 為 n 之資

1
T

產報酬率矩陣，E(w r )  為 n 之資產預期報酬率向量，1 為 n 1
之每一項皆為 1 的向量。其經濟意義是投資者可以先設立一個預期

報酬，並透過調整資產間的投資權重，使投資組合整體風險最小。

上述目標限制式 (1) 可藉由拉格朗日 (Lagrange multiplier) 求
得。首先，我們將 (1) 式改寫為拉格朗日展開多項式，可得：

1
T

T
 w Σ +  1 (1 w 1 )  2 (  E(w T r )) (2)
w
2
再從 (2) 式分別對 w 及拉格朗日常數  、 進行偏微分，並令其
2
1
偏微分等於 0，可得：

  T  T
  1 w 1 0 ；  w 1 1， ( 3 )
1

    T ) 0 ；  E(w r 
T
  E(w r )  ， ( 4 )
2

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