Page 11 - Deborah Pardosi_2113150011_E-book

PART V

KEKONGRUENAN SEBAGAI KONSEP MODULO
PADA BILANGAN BULAT

KEKONGRUENAN SEBAGAI KONSEP MODULO PADA BILANGAN BULAT

1. Defenisi Kekongruenan
Misal M ∈ bilangan bulat . Apabila A ∈ bilangan bulat kemudian B ∈ bilangan bulat,
+
dikatakan A kongruen terhadap B modulo M (simbol A ≡ B (mod M)), maka M|(A – B).
Apabila M ∤ (A – B), sehingga A tidak akan kongruen terhadap B modulo M, (simbol A ≢
(mod M)).
Contoh :
25 ≡ 1 (mod 4) ⇒ 4|25 – 1
⇒ 25 = 6 . 4 + 1
28 ≢ 13 (mod 4) ⇒ 4 ∤ 28 – 13 : tidak ada bilangan bulat q sehingga,
⇒ 28 = q . 4 + 13
Maka, A ≡ B (mod M) ⇒ M|A – B
⇒ A – B = MK, K ∈ Bilangan bulat
⇒ A = MK+ B, K ∈ Bilangan bulat

Kekongruenan dalam konsep modulo berkaitan erat dengan alogaritma pembagian.
Misal A ∈ bilangan bulat, B ∈ bilangan bulat, serta A ≠ 0. Maka terdapat q, r ∈ bilangan
bulat sedemikian jadi B = qA + r, 0 ≤ r < A.

Contoh :
Untuk A = 7
14 = 2 . 7 + 0 ⇒ 7|(14 – 0)
15 = 2 . 7 + 1 ⇒ 7|(14 - 1)
16 = 2 . 7 + 2 ⇒ 7|(14 – 2)
17 = 2 . 7 + 3 ⇒ 7|(14 – 3)
18 = 2 . 7 + 4 ⇒ 7|(14 – 4)
19 = 2 . 7 + 5 ⇒ 7|(14 – 5)
20 = 2 . 7 + 6 ⇒ 7|(14 – 6)
21 = 2 . 7 + 0 ⇒ 7|(14 – 0)
Setelah kita mengetahui konsep sisa dari bilangan tersebut, maka akan dilakukan relasi
kekongruenan.
14 ≡ 0 (modulo 7)
15 ≡ 1 (modulo 7)
16 ≡ 2 (modulo 7)
17 ≡ 3 (modulo 7)
18 ≡ 4 (modulo 7)
19 ≡ 5 (modulo 7)
20 ≡ 6 (modulo 7)
21 ≡ 0 (modulo 7)

7