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sedad de alguna demostración o afirmación de índole matemática.
Por ejemplo, en lo que hoy se conoce como razonamiento auto-
matizado no hay ningún sistema de reglas computacionales o de
deducción que nos permita determinar con un programa las pro-
piedades de los números naturales. Los números naturales,
N=ll,2,3,4, ... }, esto es aquellos que usamos para contar los ele-
mentos de un conjunto, por ejemplo «número de manzanas», tie-
nen una serie de propiedades.
Considérese el siguiente ejemplo. Sean a, b y e un número de
manzanas igual a 2, 3 y 5 respectivamente. La propiedad asociativa
establece que (a+ b) +e= a+ (b + e), mientras que la distributiva
del producto respecto de la suma dice que a • (b + e) = a • b + a • c.
Si expresamos estas dos propiedades de los números naturales
como si fueran afirmaciones, llamando a la propiedad asociativa
proposición H y a la distributiva proposición I, sustituyendo ade-
más a, b y e por sus valores:

H = [ (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)) = [H es ... ),

I = [2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5) = [I es ... ),

tendremos que no hay programa de ordenador ni máquina alguna
que pueda, de un modo automático, demostrar o refutar la vera-
cidad de la totalidad de este tipo de afirmaciones. Aunque resulte
frustrante no se puede escribir un programa de ordenador que de-
muestre algo tan evidente para nuestra intuición, incluso para un
niño en edad escolar, como es (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5). Por tanto,
hay en la matemática «proposiciones verdaderas» acerca de los
números cuya veracidad no puede ser probada por medio de la
aplicación de reglas de deducción. Como es fácil de imaginar el
teorema de Godel hizo tambalear la aparente solidez de las ideas
de Bertrand Russell, y lo que es peor, los mismos pilares del edi-
ficio fo1mal de la matemática del que los matemáticos se sienten
tan orgullosos.
Uno de los matemáticos más influyentes del siglo XIX y princi-
pios del xx, el alemán David Hilbert, dijo que toda esta discusión
podía reducirse a un problema de determinación, esto es, de poder

26 WUÉ ES UN ORDENADOR?