Page 55 - KALKULUS 2 EMY SOHILAIT

F. Pengintegralan Fungsi Rasional
Menurut definisi, fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi sukum banyak

(polinom). misalnya


5
3

f ( x)  5 , g( x)  2 x 1 , h( x)  x  2 x  x 1
3

2

( x 1 ) 3 x  3 x 2 x  x 5
Untuk menyelesaikan pengintegralan fungsi rasional, kita dapat melakukan
penjabaran menjadi ppecahan parsial. Dalam hal ini terdapat beberapa

kemungkinan, yaitu : faktor linier yang berbeda, faktor linier yang
berulang, faktor linier dan faktor kuadrat, faktor kuadrat yang
berulang.
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh soal berikut.

Contoh
x 1
2
1. Tentukan  x  3 x  2 dx
2
2
Jawab : x + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1). Kita dapat menuliskan
2  1 2  1 A B
x
x
  
x
x
x 2  3  2 (  2 )(  ) 1 x  2 x  1
x
Kita hilangkan pecahan-pecahan, maka
2x + 1 = A(x + 2) + B(x + 1) = (A + B)x + 2A + B
Kita substitusikan nilai x = -2 dan x = -1, diperoleh
A = -1, dan B = 3. Sehingga


3
 2 x 1 dx   1 dx  3 dx  ln x  2  ln x 1  C
2
x  3 x  2 x  2 x 1

2. Tentukan  x dx
x 2  x 1 x x A B
2
Jawab : x – 2x + 1 = (x – 1) , ditulis x 2  2  1  (  ) 1 2  x  1  (  ) 1 2
2
2
x
x
x

Kita hilangkan pecahan-pecahan, maka x = A(x – 1) + B
Kita substitusikan nilai x = 1, diperoleh A = 1, B = 1. Sehingga
 2 x dx   1 dx   1 2 dx
1
x  2 x 1 x 1 1 ( x  )
 ln x 1  x 1  C

52