Page 8 - Presentasi Matematika Bilangan Prima Berwarna Estetik
P. 8
Contoh 1.
Buktikan dengan induksi matematika bahwa jumlah n bilangan ganjil positif yang
pertama sama dengan n2.
Jawab:
Kita ketahui pola bilangan ganjil positif adalah (2n – 1) untuk n bilangan asli.
Akan kita tunjukkan bahwa: 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n2
Misalkan P(n) adalah persamaan
P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2n – 1) = n2.
Untuk membuktikan kebenaran pernyataan P(n), kita harus menyelidiki apakah P(n) memenuhi prinsip induksi
matematika, yaitu langkah dasar dan langkah induksi. • Langkah dasar Akan ditunjukkan bahwa (1) bernilai benar.
Untuk n = 1, maka P(1) = 1 = 12 = 1. Jadi P(1) bernilai benar. (Langkah dasar selesai) • Langkah induktif Akan ditunjukkan
bahwa untuk sebarang bilangan asli = ≥ 1, jika ( ) bernilai benar maka ( + 1) juga bernilai benar. Misalkan bahwa
( ) diasumsikan bernilai benar untuk sebarang bilangan asli = ≥ 1, yaitu
( ) = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2 − 1) = 2
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk = + 1 maka ( + 1) juga bernilai benar, yaitu ( + 1) = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ +
(2 − 1) + (2( + 1) − 1) = ( + 1) 2 Karena ( ) = 1 + 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2 − 1) = 2 adalah pernyataan yang benar, maka
dari ruas kiri ( + 1) diperoleh
