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Geometría 4° Secundaria

Teorema de Ceva: “Tres cevianas concurrentes trazadas desde los vértices de un triángulo, determinan
sobre sus lados seis segmentos, cumpliéndose que el producto de tres de ellos considerados en forma no
consecutiva es igual al producto de los tres restantes”
Sean las cevianas concurrentes AN , BL y CM trazadas en el ABC. Entonces se verificará la siguiente
relación:
AM . BN. CL = BM . NC . AL

HAZ ARMÓNICO
Es el conjunto de cuatro rectas concurrentes que pasan por cuatro puntos colineales y consecutivos
formando una cuaterna armónica

En la figura si los puntos A, B, C y D forman una cuaterna armónica, entonces las rectas OA , OB , OC OD
forman un haz armónico.
En el punto O se llama Centro del haz y las rectas OB y OD se dice que son conjugados armónicos
respecto a las rectas OA y OC y viceversa

Corolario: “En todo triángulo, las bisectrices interior y exterior que parten desde un mismo vértice
determinan un haz armónico”.

Sean BD y BE bisectrices interior y exterior respectivamente del ABC.
Luego los lados AB y BC las bisectrices BD y BE forman un haz armónico.
Para demostrarlo, bastará demostrar que los puntos A, D, C y E forman una cuaterna armónica y esto
ocurrirá si y sólo si:
AD  AE
DC CE

De los teoremas de la bisectriz:
AB  BC  AB  AD ............   1
AD DC BC DC
AB  BC  AB  AE ............. 2
 
AE CE BC CE

luego de (1) y (2)

AD AE

DC CE

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