Page 1 - HS 4 Rijen in de 3de graad

GeoGebra in de derde graad

4 RIJEN

4.1 Inleiding

4.1.1 Som van de eerste 100 natuurlijke getallen

Over het wiskundig genie Carl Friedrich Gauss (1777-1855) doet de volgende anekdote de ronde: de
leraar op de lagere school wilde zijn leerlingen een tijdje zoet houden en gaf de opdracht om de getallen
1 tot en met 100 op te tellen. Iedereen begon hard te rekenen, behalve de jonge Gauss die na eventjes
nadenken het getal 5050 als resultaat op zijn lei schreef.
Op de vraag hoe hij zo snel tot dit correcte antwoord kwam antwoorde hij:
“ 100 +1 = 101, 99 +2 = 101, 98 +3 = 101, …, 50 +51 =101”
Wat Gauss in feite ontdekte, was de formule voor driehoeksgetallen.
Een driehoeksgetal vind je door een gelijkzijdige driehoek regelmatig met stippen te vullen.

Uitgewerkt GeoGebra bestand: Driehoeksgetallen.ggb via link https://www.geogebra.org/m/jnzv8d9j

De eerste 4 driehoeksgetallen zijn 1 , 1 + 2 = 3, 1 + 2 +3 = 6, 1 + 2 +3 + 4 = 10

Het n-de driehoeksgetal (met n-stippen langs elke zijde) heeft als resultaat 1 + 2 + 3 + 4 + … + n
Dit is de som van de eerste n natuurlijke getallen.

4.1.2 Opstellen van de formule voor het n-de driehoeksgetal

Wij onderzoeken of de werkwijze van Gauss voor de som van de eerste n natuurlijke getallen altijd
geldig is en onderscheiden hierbij twee gevallen.

t
1. n is even e
n
Om de som 1 + 2 + 3 + 4 + … + n te berekenen tellen wij het eerste getal 1 en laatste getal n op, het .
o
tweede getal 2 en het één na grootste getal n – 1 enz. l
e
Dit geeft telkens n + 1 en dit keer.
2 h
t
De formule voor de som van de eerste n getallen (met n even) is dan a
m
∙ ( + 1) .
= w

2 w
w
Dit is eveneens de formule voor het n-de driehoeksgetal.

© 2024 Ivan De Winne ivan@mathelo.net 1