Page 97 - Başak dergisi 3. sayı_Neat

En Büyük Asal Sayıyı Neden Bilmeliyiz?

olduğunda
üzere
Bilindiği üzere iki sayıyı çarpmak, çok büyük olduğunda sıkıcı gelse de basit bir iştir.
büyük
sıkıcı
gelse
çok
iştir
bir
basit
çarpmak,
Bilindiği
iki
sayıyı
Bilindiği üzere iki sayıyı çarpmak, çok büyük olduğunda sıkıcı gelse de basit bir iştir .
.
de
Öte yandan bir sayı ne kadar büyük olursa asal çarpanlarına ayırmak da bununla orantılı
olarak zordur. Asal sayılar tüm doğal sayıların yapı taşlarıdır ve bu yüzden çok önemlidir. Bu
algoritma için iki asal sayıya ihtiyaç vardır ve gizliliği artırmak için dikkat edilmesi gereken
ilk şey anahtar oluşturma aşamasında seçilen bu iki asal sayının mümkün olduğunca büyük
olmasıdır. RSA şifreleme sisteminin de veri güvenliğini arttırmak yararlandığı şey budur. En
basit haliyle bu yöntemi ifade etmeye çalışalım. Örneğin, iki arkadaş olan Çınar ve Mete’nin
internet üzerinden gizlice iletişim kurmak istediklerini varsayalım. Bunun için bir şifreleme
sistemi gerekmektedir. İlk kez yüz yüze tanışırlarsa yalnızca kendilerinin bileceği bir şifre-
leme ve şifre çözme yöntemi geliştirebilirler. Ancak ilk iletişim çevrimiçiyse, öncelikle şif-
releme sistemini açıkça iletmeleri gerekir ki bu da riskli bir iştir. Eğer Çınar; iki büyük asal
sayı seçer, çarpımlarını hesaplar ve bunu açık bir şekilde iletirse, orijinal asal sayıların ne
olduğunu bulmak çok zor olacaktır. Çünkü çarpanlarını sadece kendisi bilir. Böylece Çınar,
çarpanlarını gizli tutarak çarpımı Mete’ye iletir. Mete çarpımı, Çınar’a ileteceği mesajını
şifrelemek için kullanır. Bu mesaj, yalnızca bilinen çarpanlar kullanılarak çözülebilir. Bunu
anlamaya çalışan biri, Çınar’ın asla iletilmeyen çarpanlarını öğrenmedikçe Mete’nin mesajı-
nı deşifre edemez.
RSA ile günümüzde 1024 bitlik bir anahtar (yaklaşık 300 basamaklı bir sayı) basit uy-
gulamalar için yeterli bir şifreleme tekniği olarak kullanılabilir.Diğer şifreleme sistemlerinde
de büyük asal sayılar belirgin bir şekilde kullanılmaktadır. Bilgisayarlar ne kadar hızlı olursa,
kırabilecekleri sayılar o kadar büyük olur. Modern uygulamalar için yüzlerce basamağı ölçen
asal sayılar yeterlidir. Bu rakamlar, yakın zamanda keşfedilen en büyük asal sayıya kıyasla
oldukça küçüktür. Aslında; yeni asal sayı öyle büyük ki, şu anda hesaplama hızında akla ge-
lebilecek hiçbir teknolojik ilerleme, onu kriptografik güvenlik için kullanma ihtiyacına yol
açamaz.

Tüm bu nedenlerin yanında aslında en son Mersenne asalı keşfine neden olan ne daha
güvenli şifreleme sistemleri ne de gelişmiş bilgisayarlardır. Devam eden bu arayışın sebebi;
matematikçilerin, sınırları bilinmeyen “Asal Sayılar” kümesinin tüm elemanlarını ortaya çı-
karma isteğidir.Bu, çözülmeyi bekleyen çok büyük bir gizemdir.

Ünlü İngiliz matematikçi Godfrey Harold Hardy: “Saf matematik, uygulamadan belirgin
bir şekilde daha faydalıdır. Çünkü her şeyden önce yararlı olan tekniktir ve matematiksel
teknik esas olarak saf matematik yoluyla öğretilir.” demiştir. Milyonlarca basamağı olan bili-
nen 51. Mersenne asalı gibi büyük asal sayıların yararlı bulunup bulunmayacağı, en azından
Hardy için, alakasız bir sorudur. Bu sayıları bilmenin değeri, Öklid’in asalların sonsuzluğunu
kanıtlamasıyla başlayan ve bugün hala devam eden insan ırkının entelektüel susuzluğunu
gidermede yatmaktadır.

96