Page 106 - 수학(하)
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. 6 특정한 조건이 있는 조합의 수
) 1 특정한 것을 포함하는 조합의 수
서로 다른 n 개에서 특정한 k 개를 포함하여 r 개를 뽑는 경우의 수는
] n - kg 개에서 r - kg 개를 뽑는 경우의 수이므로 n- k C r- 이다.
]
k
2) 특정한 것을 제외하는 조합의 수
서로 다른 n 개에서 특정한 k 개를 제외하고 r 개를 뽑는 경우의 수는
] n - kg 개에서 r 개를 뽑는 경우의 수이므로 n- k C r 이다.
3) [ 적어도 ~ \ 의 조건이 있는 조합의 수
유형
[ 적어도 ~인 경우 \ 의 사건은 [ ~인 경우 \ 가 한 개 이상만 있으면 되므로 경우의 수를 구할 때에는 06
전체 경우의 수에서 [ 모두 ~가 아닌 \ 경우의 수를 빼면 된다. 조
따라서 (적어도 ~가 있는 경우의 수) = (전체 경우의 수) - (모두 ~가 아닌 경우의 수)이다. 합
. 7 조합을 이용한 도형의 개수
) 1 직선의 개수
어느 세 점도 일직선 위에 있지 않은 서로 다른 n 개의 점 중에서 두 점을 이어 만들 수 있는
직선의 개수는 C 2 이다.
n
2) 삼각형의 개수
어느 세 점도 일직선 위에 있지 않은 서로 다른 n 개의 점 중에서 세 점을 이어 만들 수 있는
삼각형 개수는 C 3 이다.
n
3) 평행사변형의 개수
m 개의 평행선과 n 개의 평행선이 서로 만나 만들어지는 평행사변형의 개수는 C 2 # n C 2 이다.
m
예제 01 C r 의 계산
n
다음 값을 구하시오.
5
5
1 ]g C 3 2 ]g C 5 3 ]g C 0 4 ]g C 1 5 ]g C 8
5
10
5
! 5
1 ]g C 3 = 32 = 10 이다. 개념 다지기
!!
5
1
n
2 ]g C 5 = 이다. 조합의 수 C r
5
! n
1
3 ]g C 0 = 이다. 1 ] g n C r = ! r n - rg ! ^ 단 , 0 # r # nh
]
5
5
4 ]g C 1 = 이다. 2 ]g n C 0 = 1 , C 1 = , n n C n = 1
n
5
10 # 9 3 ]g C r =
5 ]g C 8 = 10 C 10- 8 = 10 C 2 = ! 2 = 45 이다. n n C n- r
10
예제 02 C r 의 계산
n
다음 등식을 만족시키는 n 또는 r 의 값을 구하시오.
1 ]g C 4 = n C 3 2 ]g C r6 = 6 C r- 3 ]g C 1 + 12 C 10 = 13 C r 4 ]g n- 1 C 2 + n C 2 = n+ 2 C 2
n
12
2
1 ]g C4 = n C n- 이므로 C n- 4 = n C 3 에서 n - 4 = 3 , n = 7 이다. 개념 다지기
4
n
n
r
= r = C r- 에서 6 -=- 2 , r =
r
r
6
2 ]g C r6 6 C 6- 이므로 C 6- 6 2 4 이다. 조합의 수 C r
n
3 ]g C 1 + 12 C 10 = 12 C 1 + 12 C 2 = 13 C 2 = 13 C 11 이므로 r = 또는 r = 11 이다. n- 1 C r- 1 + n- 1 C r = n C r = n C n- r
2
12
] n - 1 ]g n - 2g n n - 1g ] n + 2 ]g n + 1g
]
C 2 + C 2 = C 2 에서 + = 이므로
4 ]g n- 1 n n+ 2 ! 2 ! 2 ! 2
7 = 이다. 이때 n $ 이므로 n =
2
n - 7 n = 0 , n n - g 0 3 7 이다.
]
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