Page 103 - 수학(하)

개 념 01 조합

. 1 조합 C r
n
,
,
예를 들어 네 개의 자연수 ,12 34 중에서 순서를 생각하지 않고 두 개를 택하는 경우는
,
,
,
,
,
6
^
^
^
^
^
^ , 12h , 13h , 14h , 23h , 24h , 34h 의 C 2 = 가지이다.
4
이와 같이 서로 다른 n 개에서 순서를 생각하지 않고 r r # ng 개를 택하는 것을
]
n 개에서 r 개를 택하는 조합이라 하고, 이 조합의 수를 기호로 C r 와 같이 나타낸다.
n
일반적으로 서로 다른 n 개에서 r 개를 택하는 조합의 수는 C r 이고,
n
그 각각의 조합에 대하여 r 개를 배열하는 순열의 수는 !r 이다.
그러므로 서로 다른 n 개에서 r 개를 택하여 일렬로 배열하는 순열의 수는 C r # ! r 이다.
n
이 값은 P r 과 같으므로 C r # ! r = n P r 이다.
n
n
n n - 1 ]g n - g # ] n -+ 1g ! n
r
2 # g
]
따라서 C r = n P r = ! r = ! r n - rg ! 이다.
! r
n
]
1
여기서 r = 일 때, C 0 = ! n = ! n = 1이 성립하도록 ! = 로 정의한다.
0
0
! n -
n
0 ] 0g ! 1 # ! n
꼼수 해석
확률과 통계의 기본 원칙은 같으면 나누고, 다르면 곱한다.
따라서 서로 다른 n 개에서 r 개를 택하는 조합의 수인 C r 은 서로 다른 n 개에서
n
n 개를 택하는 조합의 수에서 택하는 r 개와 택하지 않은 n - rg 개를 같은 것으로
]
간주하여 나눈다고 생각한다.
n 개
,
즉, ,TT gTT , 333 g , 33이므로 C r = ! r n - ! n rg ! ^ 단 , 0 # r # nh 이다.
,
,
,
,
,
,
n
]
r 개 택함 ] n - rg 개 택하지 않음
참고 C r 의 C 는 조합을 뜻하는 Combination 의 첫 글자이다.
n
. 2 순열과 조합
) 1 순열과 조합의 특징
구 분 특 징 적 용 공 식
조합 순서 불필요, 중복 불허 서로 다른 n 개에서 r 개를 택만 한다. n C r
순열 순서 필요, 중복 불허 서로 다른 n 개에서 r 개를 택하여 나열 한다. n P r
,
) 2 서로 다른 세 문자 , ab c 에서 두 개를 택하는 경우
구 분 경우의 수 공 식
조합 ab , ac bc 3 C 2 = 3
,
순열 ab , ba ac ca bc cb 3 P 2 = 3 C 2 # ! 2 = 6
,
,
,
,
,
) 3 네 개의 자연수 ,12 34 중에서 두 개를 택하는 경우
,
구 분 경우의 수 공 식
조합 12 , 13 14 23 24 34 4 C 2 = 6
,
,
,
,
순열 12 , 21 13 31 14 41 23 32 24 42 34 43 4 P 2 = 4 C 2 # ! 2 = 12
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
098 Ⅵ. 경우의 수