Page 66 - Modul Kapita Selekta Matematika-converted

KEGIATAN BELAJAR 2

TEOREMA SISA DAN TEOREMA FAKTOR

A. Teorema Sisa Pemodelan
Pembagian suku banyak secara umum dapat dirumuskan dengan:

Suku banyak yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa

Misalkan suku banyak f (x) dibagi dengan P(x) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa S(x).

Secara umum dapat dituliskan :
f(x) = P(x). H(x) + S(x)

Dengan: f(x) merupakan suku banyak yang dibagi, missal berderajat n.

P(x) merupakan pembagi, missal berderajat m (m ≤ n).

H(x) merupakan hasil bagi, berderajat n – m.
S(x) merupakan sisa, berderajat maksimum m –1.

1. Pembagian dengan (x – k)

Jika pembagi p(x) = (x – k) maka persamaan pembagian dapat dituliskan menjadi

f(x) = (x – k) . H (x) + S (x) berlaku untuk setiap x bilangan real.
Jika pembagi p(x) = (x – k) berderajat 1 (satu), maka sisa S maksimum berderajat 0,

yaitu suatu konstanta yang tidak memuat x. Sisa S dapat ditentukan dengan menggunakan
teorema sebagai berikut :

TEOREMA 3.1 (Teorema Sisa atau Dalil Sisa)

Jika suku banyak f (x) berderajat n dibagi dengan ( x – k) maka sisanya

S = f(k)

Bukti:

Perhatikan kembali persamaan:
f(x) = (x – k) . H (x) + S berlaku untuk setiap x bilangan real.

Dengan mensubstitusikan nilai x = k ke dalam persamaan di atas, maka diperoleh:

f(k) = (k – k) . H (k) + S
↔ f(k) = 0 . H (k) + S

↔ f(k) = S
Jadi terbukti bahwa S = f(k)