Page 129 - analysinew

129
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΟΡΦΗ : f(g(x))+f(x)=...
ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ : ο τύπος ή τιμή της συνάρτησης f

AΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ
● Θέτουμε x=g(x) και προκύπτει νέα σχέση με f(g(x)) και f(x)
● Απαλείφουμε το f(g(x)) στη δοσμένη και στη σχέση που
προέκυψε και έχουμε το τύπο της f ...
● Στη περίπτωση εύρεσης κάποιας τιμής της συνάρτησης, στο
τύπο της, που βρήκαμε, αντικαθιστούμε τον x με την συγκε-
κριμένη τιμή .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Να βρείτε το τύπο της συνάρτησης f αν ισχύει:
f(x)+(1-x)f(3-x) =χ -x-1, για κάθε χ

2
Να βρείτε το τύπο της συνάρτησης f
ΛΥΣ Η

Είναι για κάθε χ
f(x)+(1-x)f(3-x) =
2
=χ -x-1 (1)
Για x=3-x
η δοσμένη σχέση δίνει
f(3-x)+(1-(3-x))f(x) =

=(3-x) -(3-x)-1 `

2
f(3-x)+(1-3+x)f(x) =
=9-6x+x -3+x-1 `
2
f(3-x)+(x-2)f(x) =

=x -5x+5 `
2

f(3-x) = x -5x+5+(2-x)f(x) (2)
2
Η (1) λόγω της (2)
2
2
f(x)+(1-x) (x -5x+5+(2-x)f(x)) =χ -x-1 `
f(x)+(1-x) (x -5x+5+2 f(x)-xf(x)) =χ -x-1 `
2
2
f(x)+ x -5x+5+2 f(x)-xf(x)-x +5x -5χ-2χ f(x)+x f(x)=
3
2
2
2
=χ -x-1 `
2
3f(x)-3χ f(x) +x f(x) =x -5x +9x-6 `
3
2
2
2
x - 3x + 3 0
2
2
3
(x -3χ+3)f(x)= x -5x +9x-6 `
= 9 - 12 = - 3 < 0
x -5x 2 +9x-6
3
f(x)= , χ
x -3x+3
2
και είναι δεκτη αφού επαληθεύει τη δοσμένη.
Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017