Page 132 - analysinew

132
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΟΡΦΗ : f(x+y)+ f(x)-f(y) =...
ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ : ο τύπος της συνάρτησης f, ... περιττή, ...
σταθερή

AΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ
... τύπος συνάρτησης, ... σταθερή
x
● Θέτουμε στη δοσμένη σχέση, x = y = (το x + y γίνεται χ).
2
Έτσι το f(x + y) γίνεται f(x) και απαλείφονται τα f(x), f(y) .
● Λύνουμε τη σχέση που προέκυψε ως προς f(x)και έχουμε το
τύπο της f ...
● Στη περίπτωση σταθερής συνάρτησης, κάνουμε τα ίδια.
... περιττή συνάρτηση
● Θέτουμε στη δοσμένη σχέση , x = y = 0 .
Έτσι θα βρούμε την τιμή f(0) .
● Κρατούμε σταθερό τον x και θέτουμε στη δοσμένη σχέση,
y = - x .
● Έχοντας δοσμένο το f(0), προκύπτει f(-x)=-f(x) .
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
a) Για τη συνάρτηση f ισχύει: f(x+y)=f(x)-f(y), για κάθε

χ,y . Να βρείτε το τύπο της συνάρτησης f
β) Αν για τη συνάρτηση f: ισχύει: f(x+y)=f(x)+f(y), για

κάθε χ , y , να δείξετε οτι η συνάρτηση f είναι περιττή.
ΛΥΣ Η

α ) Είναι για κάθε χ , y
f(x+y)=f(x)-f(y) (1)

Για x= y = η (1)
2

f =f -f `
2 2 2 2

f(x)=0 και είναι δεκτή αφού
επαληθεύει τη δοσμένη.

β )
● Αν χ και -χ , αφού
Α f= που είναι συμμετρι-
κό ως προς το 0.

● για x=y=0 η δοσμένη γίνεται: f(0)=f(0)+f(0)`f(0)=0 (2)
● για y =-χ η δοσμένη γίνεται:
(2)
f(0)=f(χ)+f(-χ ) ` 0= f(χ)+f(-χ)` f(-x)=-f(x)
Άρα, η συνάρτηση f είναι περιττή στο

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017