Page 141 - analysinew

141
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΟΡΦΗ : f(g(x))+f(h(x))=...
ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ : ... η f(χ)=0 έχει α ρίζες τουλάχιστον...

AΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ
1. Στο πρόχειρο:
● Θέτουμε g(x) = h(x)
● Λύνουμε την παρ α πάνω εξίσωση ως προς x και έστω ότι
β ρ ίσκουμε ρίζες χ 1, χ 2 κλπ.
2. Θέτουμε στη δοσμένη σχέση
● x = χ 1 και προκύπτει f(x 1) = 0, οπότε η x 1 είναι ρίζα της
f(x) = 0
● x = χ 2 και προκύπτει f(x 2) = 0, οπότε η x 2 είναι ρίζα της
f(x) = 0 , κλπ
Π α ρ α τ ή ρ η σ η :

Στην περίπτωση του "ακριβώς β ρίζες" , αφού βρούμε, σύμ-
φωνα με τα πιο πάνω (τουλάχιστον β ρίζες), δείχνουμε επι-
πλέον οτι δεν υπάρχουν άλλες .
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Για τη σ υ νάρτηση f: ισχύει:
f(x +χ)+ f(4x-2)=ln(x -3χ+3), για κάθε χ
2
2

Να απόδείξετε οτι εξίσωση f(χ)=0 έχει τουλάχιστον δύο
λύσεις
ΛΥΣ Η

Πρόχειρο
x + x = 3 x = 1
2
1
2
x 2 +x= 4x-2 ... x -3x+2= 0 1
x x = 2 x = 2
1
2
2
Είναι
f(x +x)+f(4x-2)=ln(x -3x+3) (1)
2
2
● Για x=1 η (1) γίνεται
ln1 = 0
f(1 +1)+f(4× 1-2)=ln(1 -3× 1+3) f(2 )+f(2)=ln1
2
2

2f(2)=0 f(2)= 0
Άρα η τιμή χ=2 είναι λύση της εξίσωσης f(x)=0
● Για x=2 η (1) γίνεται
ln1 = 0
2
2
f(2 +2)+f(4× 2-2)=ln(2 -3× 2+3) f(6)+f(6)=ln1
2f(6)=0 f(6)= 0
Άρα η τιμή χ=6 είναι λύση της εξίσωσης f(x)=0

Δηλαδή, η εξίσωση f(x)=0 έχει τουλάχιστον δύο λύσεις.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017