Page 142 - analysinew

142
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΟΡΦΗ : f(xy)=f(x), f(y)=...
ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ : αποδειξη η f είναι "1-1"...

AΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ
● Θέτουμε στη δοσμένη σχέση , x = y = 1.
Έτσι θα βρούμε την τιμή f(1)
● Κρατούμε σταθερό τον x και θέτουμε στη δοσμένη σχέση ,
1 1
● y = . Έτσι θα βρούμε την τιμή f
x x
1 x
● y = . Έτσι θα βρούμε την τιμή f
y y

● Ξεκινούμε απ’την ισότητα f(x )=f(x ) και αντικαθιστώντας
1 2
κάποιο απ’τα δύο μέλη, σύμφωνα με τα παραπάνω, προσπα-
x
θ ο ύμε να φτάσουμε στο ... 1 = 1`x = x .
x 2 1 2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Για τη συνάρτηση f: ισχύει:
f(xy)= f(x)+f(y), για κάθε χ , y

Να α π οδείξετε οτι η συνάρτηση f είναι "1-1".
ΛΥΣ Η

Eίναι για κάθε χ , y
f(xy)= f(x)+ f(y) (1)
● Για x=y=1 η (1) γίνεται
f(1)=f(1)+f(1) ` 2f(1)- f(1) =0 ` f(1) =0 (2)
1
● Για y= η (1) γίνεται
x

1 (2) 1 για χ =y 1
f(1)=f +f(x) ` f =-f(x) ` f =-f(y) (3)
x x y
1
● Για y= η (1) γίνεται
y

1 1 (3 ) x x
f(x× )=f(x)+f ` f =f(x)-f(y) `f =f(x)-f(y) (4)
y y y y

Έτσι
(3 ) 1 (1 )
f(x )= f(x ) f(x )-f(x )= 0 f(x )+f( x 2 )= 0
1
1
2
2
1
1 x (2 ) x
f(x 1 x )= 0 f( x 1 )= 0 x 1 = 1 x = x 2
1
2
2
2
Άρα, η συνάρτηση f είναι "1-1" στο .
Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017