Page 343 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
343

β1)
Για κάθε x 1, x 2 (0, + ) με x 1 < x 2 ισχύει:
1 1
f(x )< f(x )~ >
f 1 2 f(x ) f(x ) ( ) 1 1 1 1
● x 1 < x 2 ~ 1 2 ~ f(x ) + e x > f(x ) e x
e x 1 e x 2 ~ 1 1 1 1 2 2
e x 1 e x 2
1 1 1 1
~ + -1> 1~g(x )> g(x )
f(x ) e x 1 f(x ) e x 2 1 2
1
2
συνεπώς, η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, + )

β2)
Aπό τη δοσμένη εξίσωση προκύπτει διαδοχικά
e f(x) > 0 1 1
x
x
e +f(x)=e f(x) + =1 g(x)=0
x
f(x) e x
ενώ, από τη δοσμένη ανισότητα για χ=2 προκύπτει
4< f(2)< 5 1 < 1 < 1
5 f(2) 4
1 1 1 1 1 1
+ -1< + -1< + -1
5 e 2 f(2) e 2 4 e 2

1 4 1 3
- < g(2)< -
e 2 5 e 2 4
g(2)< 0 (2)
Έχουμε

● Η g είναι συνεχής στο [0, 2]
(π ρ άξεις συνεχών συναρτήσεων)
● Επίσης

● g(0) = 1 + 1 -1= 1 +1-1= 1 >0
f(0) e 0 f(0) f(0)
1
(f(0)<1 ~ >1>0)
f(0)

● g(2) <0 (λογω (2))
δηλαδή
g(0) g(2)<0
Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον

χ 0 (0, 2) τέτοιο, ώστε g(χ 0)=0 που είναι μοναδικό αφού η g
είναι γνησίως φθίνουσα

ή ισοδύναμα
η εξίσωση e +f(x)=e f(x) έχει μία μόνο λύση στο (0, 2)
x
x

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017