Page 339 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
339

γ)
Έχουμε
● Η f είναι συνεχής στο [0, a] (αφού είναι συνεχής στο )
● Επίσης

● f(0) = 0+α 0-α 2 ν + 3 = -α 2 ν + 3 <0 (αφού α > 1>0)
● f(α) = α 2 ν + 3 +α α 2 ν + 1 -α 2 ν + 3 = α 2 ν + 2 >0 (αφού α > 1>0)
δηλαδή
f(0) f(α)<0

Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον

χ 0 (0, α) τέτοιο, ώστε f( χ 0)=0 που είναι μοναδικό αφού η f
είναι γνησίως αύξουσα
ή ισοδύναμα
η C f τέμνει μία μόνο φορά τον άξονα χ'χ στο διάστημα (0, α)

δ )
Είναι
f(x)+α 2 3 x 2ν+3 +αχ 2ν+1 -α 2ν+3 +α 2 3
lim = β` lim = β
x 0 ημ 2 1 x 0 ημ 2 1
(x +α)χ 2ν+1
2
` lim = β
x 0 ημ 2 1
χ 2ν+1
2
` β= lim(x +α) lim
x 0 x 0 ημ 2 1
2ν+1
χ
` β= α lim
x 0 ημ
` β= α
αφού

2ν+1 1 2ν+1 1 2ν+1 2ν+1
χ lim 1
lim x 0 ημχ η χ μ 1
x 0 η μ lim 1
x 0
Συνεπώς
ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(α, β) είναι η ευθεία y=x

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017