Page 335 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
335

Έτσι

f(ημx) f(ημx) ημx f(ημx) ημx
lim = lim × = lim × lim =1× 1=1
x 0 x x 0 ημx x x 0 ημx x 0 x
γ )
Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x) =f(x)-x+2, x
έχουμε
● Η h είναι συνεχής στο διάστημα [0, 2]

(αφού είναι συνεχής στο )
● Επίσης
● h(0) =f(0)-0+2=2>0
● h(2) =f(2)-2+2= f(2)< f(0)=0
(αφού 2>0 και f γνησίως φθινουσα)
δηλαδή
h(0) h(2)<0

Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον
χ 0 (0, 2) τέτοιο, ώστε
h(χ 0)=0` f(χ 0)- χ 0+2=0` f(χ 0)= χ 0-2
ή ισοδύναμα
η C f τέμνει την ευθεία y=χ-2 σ'ένα τουλάχιστον σημείο

(x 0, y 0) με χ 0 (0, 2)

Όμως

Για χ 1,χ 2 (0,2) με χ 1<χ 2 ισχύει
f(x )> f(x ) ( ) f(x )-x > f(x )-x
1
2
- x >- x 1 1 2 2
1 2
( 2 )
f(x )-x +1> f(x )-x 2 +2
1
2
1
~ h(x )> h(x )
1 2
άρα, η h είναι γνήσια φθίνουσα στο (0, 2) που σημαίνει ότι το
σημείο (x 0, y 0) είναι μοναδικο.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017