Page 331 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
331

30.
Αν οι συναρτήσεις f, g : είναι συνεχείς και για κάθε
2
2
x είναι f (x) + g (x) = 2,
να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)g(x) = x έχει μία τουλάχι-
στον ρίζα στο διάστημα [- 1, 1] .

31.
Δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα
[0, 1] και ισχύει -1 < f(χ) 0 για καθε χ [0, 1].
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 [0, 1),
τέτοιο, ώστε
(f(x 0)) + f(x 0)) + x 0 = 0
2

32.
Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο x 0 = 0, για την οποία
ισχύει χ(f(x)-2χ+2) = ημx για κάθε χ *
Να αποδείξετε ότι
● f(0)=-1
● η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μία λύση στο διά -

π
στημα 0 ,
2

33.
Έστω η συνεχής συνάρτηση f: για την οποία ισχύει
f(0)=3 και f (x)-2xf(x)=9, για κάθε χ
2
Να αποδείξετε ότι f(x) x x 2 9 , για κάθε χ

34.
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
f(x)=x 2 0 1 7 +2016x-2017, χ
a) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μία μόνο λύση,
την χ=1
β) Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f .

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017