Page 327 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
327

10.
Έστω f , g συνεχείς στο [α,β] με
α f(x) β και α g(x) β, για κάθε x [α, β] .

Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον γ [α, β] , τέτοιο
ώστε f(g(γ)) = γ.

11.
Έστω f,g,h συναρτήσεις συνεχείς στο [α,β] με την γραφι -
κή παράσταση της f να βρίσκεται πάνω απ’τη γραφική πα -
ράσταση της g για κάθε x [α,β].
Αν η C h τέμνει τις C f, C g σε ένα τουλάχιστον σημείο την
κάθε μιά, να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) + 2g(x) = 3h(x)

έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα (α,β).

12.
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ του διαστή -
5
ματος (2, 3) τέτοιο, ώστε ( 1 ) ln 1

13. 2
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση συνχ+χ =2, έχει μία ακριβώς
ρίζα στο διάστημα (0, 2 ).

14.
a) Έστω συνάρτηση f: , συνεχής, γνησίως φθίνουσα
στο για την οποία ισχύει 0<f(x)<1, για κάθε x .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα μόνο χ 0 (1, e), τέτοιο,

ώστε να ισχύει f(lnχ 0)=lnχ 0
β) Αν η συνάρτηση g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα
στο διάστημα [1, e] με 0 < g(x) < 1 για κάθε x [1, e]
Να αποδείξετε ότι υπάρχει μόνο ένα ξ (1, e) ώστε:
g(ξ) + ξ 2 ∙ lnξ = ξ .

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017