Page 326 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
326

6.
Έστω η συνάρτηση f, συνεχής στο χ 0=0, για την οποία
ισχύει: ημx(f(x)-4χ+3)= χ για κάθε χ *

Να αποδείξετε ότι
α) f(0)=-2
β) υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ στο διάστημα (0, ), τέτοιο,
2
ώστε f(ξ) +3= ξ +4ξ
ημξ

7.
Έστω οι συναρτήσεις f ,g:I R I R, με f(x)=e και g(x)= 1 .
x
x
Να αποδείξετε ότι τα γραφήματα των συναρτήσεων f, g
τέμνονται τουλάχιστον μία φορά στο διάστημα (0, + ).

8.
Έστω η συνάρτηση f: συνεχής στο 0 με f(0)=0, για
1

την οποία ισχύει x 2 συν x = xf(x), για κάθε χ *
α) Να βρεθούν τα όρια: lim f(x) και lim f(x)
x - x +
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(χ)=0 έχει μία τουλάχι-
στον πραγματική λύση.

9. .
Δίνεται η συνάρτηση f:
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(χ)=0 έχει μία τουλάχιστον
πραγματική λύση στο διάστημα (0,1) αν

1 1
3
2
● f(x)=χ - 2 χ +χ- 2
1 1 1
2
3
● f(x)=χ + 2 χ + 2 χ- 2
● f(x)=χ +3χ -2 χ -1
3
2
● f(x)=χ -2χ -2χ+2
3
2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017