Page 322 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
322

4. ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ (ΥΠΑΡΞΗ ξ ...)
Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [α, β] .
Να δειχτεί οτι για κάθε x 1, x 2, x 3 [α, β], υπάρχει τουλάχι-
στον ένα ξ (α, β) ώστε να ισχύει :
6f(ξ) = f(x 1 ) + 2f(x 2) + 3f(x 3)

Η f είναι συνεχής στο [α, β], οπότε
έχει ελάχιστη και μέγιστη τιμή, έστω m, M .

Δηλαδή
● m f(x 1) Μ (1)
● m f(x 2) ≤ Μ 2m 2f(x 2) 2Μ (2)

● m f(x 3) Μ 3m 3f(x 3) 3Μ (3)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1), (2) και (3) παίρνουμε:

6m ≤ f(x 1) + 2f(x 2) + 3f(x 3) 6Μ `
f(x )+2f(x )+3f(x )
m 1 2 3 Μ
6

● Αν m < M τότε σύμφωνα με το θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών
υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε:

f(x )+2f(x )+3f(x )
f(ξ) = 1 2 3 ` 6f(ξ) = f(x )+2f(x )+3f(x )
6 1 2 3

● Αν m = M τότε η f είναι σταθερή και το ξ μπορεί να είναι ένα
οποιοδήποτε σημείο του διασ τ ήματος [α, β].

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017