Page 318 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
318

ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ (ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ)

Δ ο σ μ έ ν α
● Ο τύπος της συνάρτησης f

Α ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η
● Στη περίπτωση " Απόδειξη ότι συγκεκριμένες τιμές απο -
τελούν τιμές της συνάρτησης f στο δι -

άστημα [α, β]. ... "
● Δείχνουμε ότι η f είναι συνεχής
● Βρίσκουμε τις τιμές των άκρων του (α,β), τις f(α), f(β)
● Ελέγχουμε αν οι προς εξέταση τιμές βρίσκονται μεταξύ
των f(α), f(β)
● αν ανήκουν, αποτελούν τιμές της συνάρτησης f
● αν δεν ανήκουν, δεν αποτελούν τιμές της f
● Εναλλακτικά
● Δείχνουμε ότι η f είναι συνεχής
● Αποδεικνύουμε ότι οι δοσμένες τιμές ανήκουν στο
σύνολο τιμών της συνάρτησης f
● Στη περίπτωση " ... έχει μία ακριβώς λύση στο (α, β) "
● Δείχνουμε ότι υπάρχει μία τουλάχιστον λύση
(ΘΕΤ-σύνολο τιμών) στο διάστημα (α, β)
● Δείχνουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο

διάστημα (α, β)
● Στη περίπτωση " έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο (α, β) "
● Χωρίζουμε το διάστημα σε δύο διαστήματα (α, γ), (γ, β)

Συνήθως γ=

● Εφαρμόζουμε Θ.Ε.Τ., σε καθένα από τα διαστήματα ...
● Στη περίπτωση " ... έχει δύο ακριβώς λύσεις στο (α, β) "
● Κάνουμε ο,τι και στο προηγούμενο
● Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότο -

νη σε καθένα από τα δύο διαστήματα.
Μία ειδική περίπτωση:
Αν εξίσωση είναι δευτεροβάθμια, τότε από Θ.Ε.Τ. υπάρ -
χουν τουλάχιστον δύο ρίζες, ενώ σαν τριώνυμο η εξί -

σωση έχει το πολύ δύο ρίζες .
Ο συνδυασμός τους δίνει ακριβώς δύο ρίζες

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017