Page 314 - analysinew
P. 314

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
                                                                                                        314


                   ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

                   ● Εναλλακτικά, το συμπέρασμα του θ ε ωρήματος ενδιάμεσων
                      τιμών μπορεί να είναι:
                      " ... υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της εξίσωσης f(x) = n στο

                        διάστημα (α, β)"



                   ● Το θεώρημα  Βolzano
                      μπορεί να θεωρηθεί   σαν
                      ειδική περιπτωση του θ ε -
                      ωρήματος ενδιάμεσων
                      τιμών αν η=0 είναι ενδιά-
                      μεση τιμή των f(α), f(β).

                      Στη πράξη έχει μεγάλο
                      ενδιαφέρον, γιατί αν το 0
                      ανήκει στο σύνολο τιμών
                      της συνάρτησης f,
                      0  f(Α), εξασφαλίζ ε τ αι η
                      ύ π α ρ ξ η  τουλάχιστον
                      μίας ρίζα ς  της ε ξ ίσωσης
                      f(χ)=0 στο ανοικτό διά-
                      στημα (α, β).

                      Αν όμως επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη στο [α, β],
                      τότε η εξίσωση f(χ)=0 θα έχει  μ ο ν α δ ι κ ή  ρίζα στο (α, β)

                   ● Με βάση τα παραπάνω, οι υποθέσεις του θ ε ωρήματος ενδιά-

                      μεσων τιμών   εξασφαλίζουν ότι
                      ● η συνάρτηση f μπορεί να πάρει  ό λ ε ς  τις ενδιάμεσες
                         τιμές
                      ● δεν μπορεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης f να είναι
                         μον ο σύνολο (η   f σταθερή) και υπάρχουν ενδιάμεσες τιμές
                         της συνάρτησης f.

                   ● Με τη βοήθεια του θ ε ωρήματος ενδιάμεσων τιμών α π οδει-

                      κνύεται ότι
                      ● η εικόνα f(Δ) ενός διασ τ ήματος Δ μέσω μίας συνεχούς και
                         μη σταθερής συνάρτησης f, είναι διάστημα.
                      ● αν η συνάρτηση f είναι σταθερή στο διάστημα Δ, τότε το
                         σύνολο τιμών της είναι μον ο σύνολο.





                                               Τακης Τσακαλακος   Κερκυρα   2017
   309   310   311   312   313   314   315   316   317   318   319