Page 312 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
312

5. ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO (... ΨΕΥΔΟ-ROLLE)
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
x 3
f(x)= 3 x , για κάθε χ
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f'(x)=0, έχει μία τουλάχιστον

ρίζα στο διάστημα (0, ).
2

Η συνάρτηση f είναι παρα-
γωγίσιμη στο
(πράξεις παραγωγίσιμων
συναρτήσεων)
με
f'(x)=x -1+ημχ, χ
2

π
● η f' συνεχής στο 0,
2

(άθροισμα συνεχών ...)
● Επίσης
● f'(0)= 0-1-0=-1<0
π π 2 π 2
● f' = -1+1 0
2 4 4
δηλαδή
π
f'(0) f' <0
2

Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει μία τουλάχιστον
π
λύση χ 0 0, της εξίσωσης f'(χ)=0
2

ΣΧΟΛΙΟ

Συνήθως, όταν ζητείται η εξίσωση f'(χ)=0 έχει τουλάχιστον
μία λύση στο διάστημα (α, β) ..., όπως θα μάθουμε αργότερα,
χρησιμοποιούμε το θεώρημα Rolle.
Όταν όμως, δεν ισχύει f(α)=f(β), όπως εδώ, ακολουθούμε
άλλη πορεία .

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017