Page 310 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
310

● f(λ) = α(λ– μ)(λ– ν) + 0 + 0 = α(λ– μ)(λ– ν) > 0 (1)
αφού
α > 0, λ < μ και λ < ν
f(μ) = 0 + β(μ – λ)(μ – ν) + 0 = + β(μ – λ)(μ – ν) < 0 (2)

Aπό (1), (2): f(λ) ∙ f(μ) < 0
Έτσι απ’ το θεώρημα Bolzano
● η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα x 1 στο
διάστημα (λ, μ).
● η εξίσωση f(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα x 2 στο
διάστημα (μ, ν).
Επειδή, όμως, η f(x) είναι τριώνυμο, έχει το πολύ δύο ρίζες.
Έτσι, τελικά,
έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις x 1, x 2 .

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017