Page 311 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
311

4. ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO (ΔΥΟ ΛΥΣΕΙΣ ΑΚΡΙΒΩΣ)
1 e
Δίνεται συνάρτηση f : (0, + ) με f(x) = - 2 + xln x .
Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες
1
στο διάστημα (0, + ), μία στο 2 , 1 και μία στο διάστημα
e
2
(1, e ), αν παρουσιάζει μέγιστο για x = 1.

Moνοτονία

Εφαρμόζοντας θεώρημα

Bolzano για την συνεχή
συνάρτηση f στα διασ τ ή-
1
2
ματα , 1 , [1, e ] , αφού
e 2
1 1
● f(1)= lne 0
2 2
e
1 1 1 1 1 1 1 3 6-e 2
3
● f =- + × ln =- + × lne =- + = < 0
e 2 2 e 2 e 2 2 e 2 2 e 2 2e 2
1
δηλαδή f f(1)<0
e 2
1
άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον x 1 , 1 : f (x 1) = 0 και αφού f
e 2

είναι γνησίως αύξουσα στο (0, 1) η ριζα x 1 είναι μοναδική στο
(0, 1) .
1 1 1
● f(1) = lne 1 0
2 2 2
1 e 1
● f(e ) =- + e ∙ ln =- + e <0
2
2
2
2 e 2 2
2
άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον x 2 (1, e ): f(x 2) = 0 και αφού η
f είναι γνησίως φθίνουσα στο (1, + ) η ριζα x 2 μοναδική στο
(1, + ) .
Τελικά η f(x) = 0 έχει ακριβώς 2 ρίζες στο διάστημα (0, + ) .

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017