Page 315 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
315

● Αν η συνάρτηση f μπορεί
να πάρει όλες τις ενδιάμ ε -
σες τιμές των f(α), f(β),
τότε δεν είναι υποχρεωτι-

κά και συνεχής.
(το αντίστροφο του θ ε ω-
ρήμ α τος ενδιάμεσων τι-
μών δεν ισχύει)
Στο διπλανό σχήμα, για
κάθε αριθμό n που β ρ ίσκε-
ται μ ε τ α ξ ύ των f(α),
f(β) υπάρχει ένα τουλάχι-
στον x 0 (α, β), τέτοιο
ώστε να ισχύει:

f ( x 0 ) = n
αλλά η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής.

● Η τιμή x 0 που υπάρχει έτσι ώστε f(x 0)=η δεν είναι υποχρεω-

τικά μοναδική.
Αυτό συμβαίνει υποχρεωτικά μόνο στην περίπτωση που η
συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη.

● Τα f(α), f(β) δεν είναι υποχρεωτικά τα άκρα του συνόλου
τιμών της συνάρτησης

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ - ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ

Αν μία συνάρτηση f είναι σ υ ν ε χ ή ς στο κλειστό διάστη -
μα [α , β], τότε η f έχει
μία ε λ ά χ ι σ τ η τ ι μ ή m και μία μ έ γ ι σ τ η τ ι μ η Μ

στο διάστημα [α, β].
Αυτό σημαίνει πως υπάρχουν αριθμοί x 1, x 2 στο [α,β],
τέτοιοι ώστε:

f(x 1) = m, f(x 2) = M και m ≤ f(x) ≤ M
για όλα τα x στο [α, β].

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017