Page 306 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
306

BOLZANO (ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ - ΔΥΟ ΡΙΖΕΣ)

Δ ο σ μ έ ν α

● Ο τύπος της συνάρτησης f

Α ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η
● Στη περίπτωση " έχει μία τουλάχιστον λύση στο [α, β] ... "
● Φέρνουμε όλους τους όρους της εξίσωσης στο πρώτο
μέλος της, που το θέτουμε h(x) με h(α) h(β) 0
● Διακρίνουμε περιπτώσεις :
● h(α) = 0 ή h(β) = 0, που σημαίνει ότι α η β είναι ρίζες
● Αποδεικνύουμε ... Bolzano ...
● Στη περίπτωση " έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο (α, β) "
● Χωρίζουμε το διάστημα σε δύο διάστηματα (α, γ), (γ, β)

Συνήθως γ=

● Εφαρμόζουμε θ.Bolzano, σε καθένα από τα διαστήματα
● Στη περιπτωση " έχει δύο ακριβώς λύσεις στο (α, β) "
● Κάανουμε ο,τι και στο προηγούμενο
● Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότο -
νη σε καθένα από τα δύο διαστήματα.
Μία ειδική περίπτωση:
Αν εξίσωση είναι πολυώνυμο ν-βαθμού, τότε από θεώ-
ρημα Bolzano υπάρχουν τουλάχιστον ν ρίζες, ενώ σαν
πολυώνυμο ν-βαθμού η εξίσωση έχει το πολύ ν ρίζες .
Ο συνδυασμός τους δίνει ακριβώς ν ρίζες.
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Ισοδύναμες εκφράσεις: " υπάρχουν δύο τουλάχιστον ...":
● Η συναρτηση f έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο (α, β)
● Η εξίσωση f(x)=0 έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο (α, β)
ή υπάρχουν χ 1,χ 2 (α, β) τέτοια, ώστε f(χ 1)=0 και f(χ 2)=0
● Η τέμνει δύο τουλάχιστον φορές τον άξονα χ'χ στο
διάστημα (α, β)
● Αν f(x)=h(x)-g(x) τότε τα γραφήματα έχουν
τουλάχιστον δύο κοινά σημεία ή τέμνονται τουλάχιστον
δύο φορές στο διάστημα (α, β)

● Η συνάρτηση f δεν είναι "1-1" 'η δεν είναι αντιστρέψιμη
στο (α, β)

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017