Page 304 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
304

4. ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO (ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΛΥΣΗ)
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ημχ+χ =1, έχει μία ακριβώς
2

λύση στο διάστημα (0, 2 ).

Η δοσμένη σχέση γράφεται
ημχ+χ =1 ` ημχ+χ -1=0
2
2
Θεωρούμε τη συνάρτηση
f(x)= ημχ+χ -1, x
2
Έτσι
π
● η f συνεχής στο 0,
2
(άθροισμα συνεχών συν-
αρτήσεων)
● Επίσης
● f(0)= ημ0+0-1=-1<0

π 2
● f =ημ + -1
2 2 4
2 2
= 1+ -1= > 0
4 4
δηλαδή
π
f(0) f <0
2
π
Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει χ 0 0, ώστε
2
f(χ 0)=0
Ακόμη
π
Για x , x 0, με x <x
1 2 2 1 2

x < x x 2 < x 2 x 2 -1< x 2 -1
1 2 1 2 1 2
x < x 2 και και και
1
ημx < ημx 2 ημx < ημx 2 ημx < ημx 2
1
1
1
(+)
ημx +x 1 2 -1< ημx 2 +x 2 2 -1 f(x )< f(x )
2
1
1
π
Δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα και "1-1" στο 0,
2
Τελικά, το χ 0 είναι μοναδική λύση της εξίσωσης ημχ+χ =1 στο
2
π
0, .
2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017