Page 303 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
303

3. ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ( ξ ((α, β) ωστε f(ξ)=g( ξ ) )
Nα αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ του διαστή -
ματος (1, 2) τέτοιο, ώστε ( 1 ) e 1
3
Αλλιώς
3
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 1 ) e 1, έχει μία τουλά-
χιστον λύση στο διάστημα (1, 2).
Αλλιώς
Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτή -
σεων
f(x)=(x-1) e και g(x)=x+1
x
3
τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο
διάστημα (1, 2).

Θεωρούμε τη συνάρτηση
h(x)= (x-1) e -x-1
x
3

Έτσι
● η h είναι συνεχής στο δ ι -
άστημα [1, 2]
(πράξεις συνεχών συν-
αρτήσεων)

● Επίσης
● h(1)=(1-1) e -1-1
1
3
=-2<0
● h(β)= (2-1) e -2-1
3
2
= e -3>0
2
δηλαδή
h(1) h(2)<0

Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον ένα
ξ (1, 2) τέτοιο, ώστε

h(ξ)=0` (ξ-1) e -ξ-1=0 ` (ξ-1) e =ξ+1
ξ
3
ξ
3

ΣΧΟΛΙΟ
Την ίδια ακριβώς λύση έχουν και οι εναλλακτικές εκφωνήσεις.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017