Page 300 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
300

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO (ΑΝΟΙΚΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ)

Δ ο σ μ έ ν α

● Ο τύπος της συνάρτησης f

Α ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η
● Στη περίπτωση "... τουλάχιστον κοινό σημείο των C f, C g"
● Θέτουμε h(x) = f(x) - g(x)
● Αποδεικνύουμε:
● η συνάρτηση h είναι συνεχής σε διάστημα [α, β]
● h(α) h(β) < 0
● Από θεώρημα Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον ...
Π α ρ α τ ή ρ η σ η
Η περίπτωση αυτή θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί σε προ -
βλήματα χρονικής μεταβλητής, για κάποια κοινή χρονική

σ τ ιγμή, δημιουργώντας τις κατάλληλες συναρτήσεις.
● Στη περιπτωση " υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α, β) ... "
Εναλλακτικά η προηγούμενη περίπτωση ...
● Φέρνουμε τους όρους της προς απόδειξη ισότητας στο
πρώτο μέλος
● Θέτουμε h(x) = " πρώτο μέλος" αντικαθιστώντας το ξ
με το x
● Αποδεικνύουμε ... θεώρημα Bolzano ...
● Στη περίπτωση " ... η εξίσωση ... μια τουλάχιστον λύση ... "
● Μεταφέρουμε όλους τους όρους της δοσμένης εξίσω -
σης στο πρώτο μέλος της (ώστε το δεύτερο μέλος να
είναι ίσο με 0)
● Θέτουμε το πρώτο μέλος της εξίσωσης που προκύπτει
ίσο με h(x)
● Αποδεικνύουμε ... συνάρτηση h ... θεώρημα Bolzano ...

● Αν το (α, β] ή [α, β) τότε προσδιορίζουμε πρώτα το f(α)
ή f(β) από τη συνέχεια της συνάρτησης στο σημείο αυ -
τό.
● Στη περίπτωση " ... η εξίσωση ... έχει μοναδική λύση ... "
● Κάνουμε ο,τι και στα προηγούμενα
● Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότο -
νη.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017