Page 295 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
295

3. ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO (ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ)
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο

(α-1)x+β+2, -2 x<-1
f(x)= 2β-α , x=-1

x+1 , -1< x 2
x+2-1
Να προσδιοριστούν οι παράμετροι α και β, ώστε να εφαρμό -
ζεται το θεώρημα Bolzano στο διάστημα [-2, 2].

Θα πρέπει η f να είναι συ-
νεχής στο χ 0=-1

Έτσι
lim x+1 =

x - 1 + x+2-1
(x+1)( x+2 +1)
= lim
x - 1 + ( x+2-1)( x+2 +1)

(x+1)( x+2 +1)
= lim
x - 1 + x+1

= - 1+2 +1= 2
lim [(α-1)x+β+2]=- α+β+3
x - 1 -
f(-1)= 2β-α

Άρα θα πρέπει
lim f(x)= lim f(x)=f(-1)=2
x - 1 - x - 1 +
συνεπώς
2β-α=2 α=4

- α+β+3=2 β=3
Για τις τιμές αυτές είναι:

f(- 2)=(4-1)(- 2)+3+2=- 1< 0
2+1
f(2)= = 3> 0 f(- 2)f(2)< 0,
2+2-1

f συνεχής στο [- 2, 2]
δηλαδή, ισχύουν οι υποθέσεις του θ. Bolzano.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017