Page 296 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
296

4. ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO (ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ΤΙΜΕΣ ΑΚΡΩΝ)
Αν η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [α, β] και g(α) 0,
να αποδείξετε ότι η εξίσωση
g(x) g(α)+g(β)
x-α = β-α

έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (α, β).

Για χ α η δοσμένη εξίσωση γράφεται ισοδύναμα
g(x)(β-α)=(x-α)[g(α)+g(β)]`g(x)(β-α)-(x-α)[g(α) +g(β)]=0

Θεωρούμε τη συνάρτηση

h(χ)=g(χ)(β-α ) -( χ -α)[g(α)+g(β)]

Έτσι
● Η συνάρτηση h είναι σ υ -
νεχής στο [α, β] σαν ά-
θροισμα συνεχών συνα ρ -
τήσεων

● Επίσης

● h(α)=g(α)(β-α )
● h(β)=g(β)(β-α ) -( β -α )
[g(α)+ g(β)]
= (β-α)[g(β)-
-g(α)+ g(β)]
= -g(α)(β-α )
δηλαδή

2
h(α) h(β)=-[g(α)(β-α)] <0

Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει μια τουλάχιστον
λύση της εξίσωσης h(x)=0 στο διάστημα (α, β)
ή ισοδύναμα
g(x) g(α)+g(β)
η εξίσωση = έχει μια τουλάχιστον λύση στο
x-α β-α

διάστημα (α, β).

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017