Page 297 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
297

5. ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO (ΑΝΟΙΚΤΟ ΑΚΡΟ)
Έστω η συνάρτηση f, συνεχής στο χ 0=0, για την οποία
ισχύει: x(f(x)-2χ+2)=ημχ για κάθε χ *
Να αποδείξετε ότι
α) f(0)=-1
β) Η εξίσωση f(χ)=0 έχει μία τουλάχιστον λύση στο διά-

στημα (0, 2 ).

α )
Για χ 0 η δοσμένη σχέση
γ ρ άφ ε ται ισοδύναμα

x(f(x)-2x+2)= ημx `

ημx
f(x)= +2x-2 (1)
x
Είναι
(1 ) ημx
limf(x)= lim +2x-2
x 0 x 0 x

= 1+0-2=- 1
Όμως η f είναι συνεχής στο χ 0=0
Έτσι

f(0)= limf(x)=- 1
x 0
β )
π
● Η f είναι συνεχής στο διάστημα 0, (υπόθεση)
2
● Επίσης
● f(0)=-1<0
π ημx 2
● f lim f(x)= lim +2x-2 = +π-2> 0
2 x π x π x π
2 2
δηλαδή,
π
f(0) f <0
2

Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει μια τουλάχιστον
λύση της εξίσωσης f(x)=0 στο διάστημα 0, π
2

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017