Page 302 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
302

2. ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO (ΠΡΟΒΛΗΜΑ)
Tο πλοίο της γραμμής Πειραιάς - Χανιά, ξεκίνησε μια μέρα
στις 7 π.μ. από το Πειραιά και έφτασε στα Χανιά στις 3 μ.μ.
της ίδιας μέρας.
Την άλλη μέρα ξεκίνησε στις 7 π.μ. απ’ τα Χανιά και ακο-
λουθώντας την ίδια διαδρομή επέστρεψε μετά απο 8 ώρες
στο Πειραιά.

Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο της δι -
αδρομής, στο οποίο το πλοίο βρισκόταν την ίδια ώρα και τις
δύο μέρες.

Έστω f(t), g(t) οι συναρ-
τήσεις που εκφράζουν την
α π ό σταση του πλοίου από
το Πειραιά, τη πρώτη και
τη δεύτερη μέρα αντίστοι-
χα σε συνάρτηση με το
χ ρ όνο t, όπου t [7, 15].
Aν υποθέσουμε ότι το μή-
κος της διαδρομής είναι x,
τότε :
f(7) = 0, f(15) = x ε ν ώ
g(7) = x, g(15) = 0

Θεωρούμε τη συνάρτηση
h(t) = f(t) - g(t), t [7, 15].

● H h είναι συνεχής στο διάστημα [7, 15]
● Επίσης
● h(7) = f(7) - g(7) = 0 – x = - x
● h(15) = f(15) - g(15) = x - 0 = x
δηλαδή
h(7) ∙ h(15) = - x ∙ x = - x < 0
2
Οπότε απ’το θεώρημα του Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον
t 0 (7, 15) τέτοιο ώστε :
h(t 0) = 0` f(t 0) - g(t 0) = 0 ` f(t 0) = g(t 0)

Δηλαδή υπάρχει τουλάχιστον μια χρονική στιγμή t 0 που το
πλοίο βρίσκεται και τις δύο μέρες στο ίδιο σημείο της διαδρο-
μής.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017