Page 323 - analysinew

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης
323

5. ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ (ΥΠΑΡΞΗ ξ ...)
Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α, β] με
f(α) f(β).
Δείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α, β), τέτοιο ώστε :
7f(ξ) = 2f(α) + 5f(β)

... EΤΣΙ

Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=7f(x)-2f(α)-5f(β)
● η g είναι συνεχής στο [α, β] (αφού η f είναι συνεχής)
g(α)= 7f(α)-2f(α)-5f(β)= 5[f(α)-f(β)]
●
g(β)= 7f(β)-2f(α)-5f(β)=- 2[f(α)-f(β)]

g(α)× g(β)= -10[f(α)-f(β)] <0
2
... θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β), ώστε:
g(x)=0~7f(x)-2f(α)-5f(β)=0~7f(ξ) = 2f(α) + 5f(β)

... ΑΛΛΙΩΣ

Είναι
f(α) f(β),
οπότε χωρίς βλάβη της γενικότητας
2f(α)< 2f(β) 2f(α)+5f(β) < 2f(β)+5f(β )
f(α)< f(β)
5f(α)< 5f(β) 5f(α)+2f(α) < 5f(β)+2f(α)

2f(α)+5f(β) < 7f(β)

7f(α)< 5f(β)+2f(α)

7f(α)< 2f(α)+5f(β)< 7f(β)

2f(α)+5f(β)
~ f(α)< < f(β)
7
όμως
υπάρχει ξ (α, β) ώστε:
f συνεχής στο [α,β] . . . 2f(α)+5f(β)
f(ξ)=
f(α) f(β) 7
7f(ξ)= 2f(α)+5f(β)

... ΑΛΛΙΩΤΙΚΑ

Η f είναι συνεχής στο [α, β], οπότε παρουσιάζει ελάχιστη τιμή
m και μέγιστη τιμή Μ, με m,M

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017