Page 102 - chapter 1

102
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

● Αν μία συνάρτηση είναι 1-1,
τότε σε κάθε στοιχείο του συ-
νόλ ο υ τιμών αντιστοιχεί ένα
μόνο στοιχείο του πεδίου ορι-
σμού.
Γραφικά αυτό σημαίνει ότι κ ά -
θ ε ευθεία της μορφής y = α,
τέμνει τη γραφική παράσταση
της συνάρτησης σ’ένα το πο-
λ ύ σημείο.
● Αν μία συνάρτηση είναι 1-1,
τότε έχει το πολύ μία ρίζα στο
πεδίο ορισμού της.
● Αν μία συνάρτηση είναι γνησί-
ω ς μονότονη στο Α, τότε ε ί -
ναι και 1-1 στο Α.
Το αντίστροφο δεν ισχύει.
AΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω μία συνάρτηση f:A

και για x 1, x 2 Α
● αν η f είναι γνησίως αύξου-
σα, τότε
x 1 < x 2 ~ f(x 1) < f(x 2) ή
x 1 > x 2 ~ f(x 1) > f(x 2)
δηλαδή για κάθε x 1, x 2 Α
με x 1 x 2 τότ ε
f(x 1) f(x 2) και η f "1-1"
● αν η f είναι γνησίως φθίνου-
σα, τότε
x 1 < x 2 ~ f(x 1) > f(x 2) ή
x 1 > x 2 ~ f(x 1) < f(x 2)
δηλαδή για κάθε x 1, x 2 Α με
x 1 x 2 τότε
f(x 1) f(x 2) και η f "1-1"
● Το αντίστροφο δεν ισχύει.
Yπάρχει συνάρτηση που εί-
ναι "1-1", αλλά δεν είναι
γνησίως μονότονη.
Παράδειγμα
η συνάρτηση g με τύπο

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017