Page 132 - chapter 1

132
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΟΡΦΗ : f(f(x+y)), f(x),f(y) =...
ΖΗΤΟΥΜΕΝΟ : ο τύπος της συνάρτησης f ...

AΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ
● Θέτουμε στη δοσμένη σχέση , x = y = 0 .
Έτσι θα βρούμε την f(f(0)) .
● Θέτουμε στη δοσμένη σχέση , x = 1, y = 0 .
Έτσι θα βρούμε την f(f(1)) .
● Θέτουμε στη δοσμένη σχέση, y = - x.
Έτσι θα βρούμε σχέση μεταξύ f(x), f(-x) .
● Θέτουμε στη δοσμένη σχέση , y = 0 .
Έτσι θα βρούμε την f(f(x)) (η βασική).
● Θέτουμε στη βασική σχέση, x=-x, με τη βοήθεια των πρώ-
των τριών β ρ ίσκουμε τον τύπο της συνάρτησης f για x ≠ 0.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Nα βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f: αν ισχύει:
f(f(x+y))=χf(x)+ yf(y), για κάθε χ , y

ΛΥΣ Η

f(f(x+y))= x× f(x)+y× f(y) (1)
Για x= y= 0 η (1) γίνεται:

f(f(0))= 0× f(0)+0× f(0)`
f(f(0))= 0 (2)
Για x= 1, y= 0 η (1) γίνεται:

f(f(1))= 1× f(1)+0× f(0)`
f(f(1))= f(1) (3)
Για y= 0 η (1) γίνεται:

f(f(x))= x× f(x)+0× f(0)`

f(f(x))= xf(x) (4)
Για y=- x η (1) γίνεται:

(2)
f(f(0))= x× f(x)-x× f(- x) ` 0= x × f(x)- x × f(- x)`f(x)= f(-x) (5)
Για x=- x η (4) γίνεται:

(5) (4)
f(f(- x))=- x× f(- x)`f(f(x))=- x× f(x)`x× f(x) =- x× f(x)`
x 0
2x× f(x) = 0` f(x) = 0, για κάθε x 0
f(x) = 0
Όμως η (3): f(f(1))= f(1) ~ f(0)= 0,
Για x = 1 ~ f(1) = 0
δεκτή αφού επαληθεύει την (1)
Άρα f(x)=0 στο

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017