Page 44 - E-MODUL ALJABAR LINEAR MATRIKS & SPL

Bukti. (a) => (b) jika A adalah ,atriks yang mempunyi invers, maka ada

da memnuhi sifat . Selanjutnya perhatikan bahwa

Kesimpulannya adalah sistem persamaan linear mempunyai solusi
tunggal, yaitu .

(b)=> (c) adalah sistem persamaan linear mempunyai solusi
tunggal. Berbarti dengan mudah bisa dipahami bahwa bentuk eselon baris
matriks A adalah sebagai berikut.

2

[ ]

(c) => (d) diketahui bentuk eselon baris matriks A pada sistem persamaan
linear adalah identitas. Menurut keterangan sebelumnya,
pembentukan bentuk eselon baris teredukasi adalah mengalikan
matriks A dengan sebanyak berhingga matriks-matriks elementer. Jadi
terdapat matriks-matriks elementer yang invertible
2
sehingga diperoleh

2

2

Telah diketahui juga bahwa matriks elementer merupakan matriks
yang mempunyai invers dan inversnya juga merupakan matriks elementer.

Jadi disimpulkan bahwa matriks A dapat dipandang sebagai hasil
perkalian berhingga matriks-matriks elementer.

(d) => (a) jika matriks A dapat dinyatakan sebagai hasil kali matriks-
matriks elementer, maka diperoleh

2
Karena matriks-matriks elementer merupakan matriks yang mempunya
invers, hasil perkaliannya juga merupakan matriks yang mempunyai
invers. Jadi A adalah matriks yang mempunyai invers.