Page 43 - E-MODUL ALJABAR LINEAR MATRIKS & SPL

Bukti.
(a) Diketahui A mempunyai invers yaitu . Oleh karena itu, dipenuhi

. Dari definisi invers matriks disimpulkan bahwa
.
-1

(b) Untuk membuktikan bahwa , dilakukan dengan
membuktikan . Pembuktian sifat tersebut dilakukan

dengan memanfaatkan sifat asosiatif dari perkalian matriks
sebagaimana berikut ini

.
Secara sama dapat dibuktikan juga .

(c) Diberikan sebarang matriks bujursangkar A yamh mempunyai invers.
Selanjutnya menggunakan sifat transpos diperoleh

.

t
t
Secara analog juga diperoleh . Jadi terbukti bahwa =
t

t
-1
.
Perhatikan kembali bahwa mencari solusi suatu sistem persamaan
linear selalu terkait dengan matriks. Hal ini memberikan pertanyaan
tentang adanya hubungan antara sifat-sifat matriks perluasan sistem
persamaan linear dan solusinya. Selanjutnya akan dibahas mengenai hal ini
khususnya terkait dengan matriks perluasan yang berukuran dan
bentuk eselon baris tereduksi matriks perluasan berukuran .
Jika suatu sistem persamaan linear mempunyai n persamaan dan n
variabel, maka matriks koefisiennya berbentuk bujursangkar. Dari fakta ini
diperoleh beberapa sifat sebagai berikut yang secara teknis akan
mempermudah dalam pencarian solusi suatu sistem persamaan linear.

Proposisi 1.28 Diketahui A merupakan matriks bujursangkar berukuran
. Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen:

(a) Matriks A mempunyai invers;
(b) Sistem persamaan linear Ax = b mempunyai tepat satu solusi;

(c) Bentuk eselon baris matriks A adalah matriks identitas I;
(d) Matriks A dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks-matriks
elementer.