Page 35 - XI_Matematika-Umum_KD-3.1

5. + habis dibagi 2 untuk sebarang bilangan asli .
2
Alternatif Penyelesaian
Untuk sebarang bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan 2 adalah
faktor dari + .
2
Langkah dasar.
(1) benar karena + = 1 + 1 = 2 = 2 ∙ 1.
2
2
Sehingga 2 adalah faktor dari + untuk = 1.
2
Langkah dasar selesai.
Langkah induktif.
Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu dengan
mengasumsikan bahwa 2 adalah faktor dari + atau ekuivalen dengan +
2
2
= 2 untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa P(k)
benar, maka P(k + 1), yaitu pernyataan bahwa 2 adalah faktor dari ( + 1) +
2
2
( + 1), juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 2 adalah faktor dari ( + 1) +
( + 1).
Perhatikan bahwa
2
( + 1) + ( + 1) = + 2 + 1 + + 1
2
= ( + ) + (2 + 2)
2
= ( + ) + 2( + 1)
2
= 2 + 2( + 1)
= 2( + + 1)
Dari baris terakhir, karena bentuk ( + + 1) adalah bilangan bulat, maka jelas
2
bahwa 2 adalah faktor dari ( + 1) + ( + 1). Jadi P(k + 1) benar.
Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut
prinsip induksi matematika terbukti bahwa + habis dibagi 2 untuk sebarang
2
bilangan asli .

6. + 2 habis dibagi 3 untuk sebarang bilangan asli .
3
Alternatif Penyelesaian
Untuk sebarang bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan 3 adalah
3
faktor dari + 2 .
Langkah dasar.
(1) benar karena + 2 = 1 + 2(1) = 3 = 3 ∙ 1.
3
3
Sehingga 2 adalah faktor dari + 2 untuk = 1.
3
Langkah dasar selesai.
Langkah induktif.
Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu dengan
3
mengasumsikan bahwa 3 adalah faktor dari + 2 atau ekuivalen dengan +
3
2 = 3 untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa P(k)
3
benar, maka P(k + 1), yaitu pernyataan bahwa 3 adalah faktor dari ( + 1) +
3
2( + 1), juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari ( + 1) +
2( + 1).

34