Page 37 - XI_Matematika-Umum_KD-3.1

Langkah dasar

Untuk membuktikan bahwa ketaksamaan benar untuk ≥ 3 mensyaratkan bahwa
langkah dasar adalah (3).
Perhatikan bahwa (3) benar karena (3 + 1) = 4 = 16 < 2(3 ) = 2(9) = 18.
2
2
2
Langkah dasar selesai.
Langkah induktif
Asumsikan ( ) benar untuk sebarang bilangan asli dengan ≥ 3, yaitu
2
asumsikan bahwa ( + 1) < 2 untuk sebarang bilangan asli dengan ≥ 3.
2
Pada hipotesis induktif harus ditunjukkan bahwa ( + 1) juga benar. Dalam hal
2
2
ini harus ditunjukkan jika ( + 1) < 2 benar untuk sebarang bilangan asli
2
dengan k  3, maka (( + 1) + 1 ) < 2( + 1) juga benar.
2
Diperoleh
((k 1)1)  (k 1) 2(k 1)1
2
2
 2k  2k  3
2
2
 2k 2k 3(2k 1)
2
 2k  4k 2
 2(k 2k 1)
2
 2(k 1) 2
Telah ditunjukkan bahwa ( + 1) benar jika ( ) benar. Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah diselesaikan, maka menurut
prinsip induksi matematika ( ) benar untuk sebarang bilangan asli dengan ≥
2
3. Dengan demikian terbukti bahwa ( + 1) < 2 benar untuk sebarang bilangan
2
asli dengan n  3.

9. ! > 2 untuk sebarang bilangan asli ≥ 4.

Alternatif Penyelesaian
Misalkan ( ) adalah pernyataan bahwa ! > 2 . Perhatikan bahwa ketaksamaan

salah untuk = 1, 2, dan 3
Langkah dasar
Untuk membuktikan bahwa ketaksamaan benar untuk ≥ 4 mensyaratkan bahwa
langkah dasar adalah (4).
Perhatikan bahwa (4) benar karena 4! = 4.3.2.1 = 24 > 2 = 16. Langkah dasar
4
selesai.
Langkah induktif

Asumsikan ( ) benar untuk sebarang bilangan asli dengan ≥ 4, yaitu
asumsikan bahwa ! > 2 untuk sebarang bilangan asli dengan ≥ 4. Pada

hipotesis induktif harus ditunjukkan bahwa ( + 1) juga benar. Dalam hal ini
harus ditunjukkan jika ! > 2 benar untuk sebarang bilangan asli dengan k  4,

maka ( + 1)! > 2 ( +1) juga benar.
Diperoleh
(k  1)!  (k  1) k !
 2 (k 1)
k
k
 2 2 untuk k  4
 2 k 1
Telah ditunjukkan bahwa ( + 1) benar jika ( ) benar. Langkah induktif selesai.

36