Page 36 - XI_Matematika-Umum_KD-3.1

Perhatikan bahwa
( + 1) + 2( + 1) = + 3 + 3 + 1 + 2 + 2
2
3
3
= ( + 2 ) + (3 + 3 + 3)
3
2
= ( + 2 ) + 3( + + 1)
2
3
= 3 + 3( + + 1)
2
= 3( + + + 1)
2
Dari baris terakhir, karena bentuk ( + + + 1) adalah bilangan bulat, maka
2
3
jelas bahwa 3 adalah faktor dari ( + 1) + 2( + 1). Jadi P(k + 1) benar.
Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut
prinsip induksi matematika terbukti bahwa + 2 habis dibagi 3 untuk sebarang
3
bilangan asli .

7. − habis dibagi 5 untuk sebarang bilangan asli .
5
Alternatif Penyelesaian
Untuk sebarang bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan 5 adalah
faktor dari − .
5
Langkah dasar.
(1) benar karena − = 1 − 1 = 0 = 5 ∙ 0.
5
5
Sehingga 5 adalah faktor dari − untuk = 1.
5
Langkah dasar selesai.
Langkah induktif.
Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu dengan
5
mengasumsikan bahwa 5 adalah faktor dari − atau ekuivalen dengan −
5
= 5 untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa P(k)
benar, maka P(k + 1), yaitu pernyataan bahwa 5 adalah faktor dari ( + 1) −
5
( + 1), juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 5 adalah faktor dari ( + 1) −
5
( + 1).
Perhatikan bahwa
5
( + 1) − ( + 1) = + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 − − 1
4
3
5
2
= ( − ) + (5 + 10 + 10 + 5 )
3
2
5
4
= ( − ) + 5( + 2 + 2 + )
3
2
4
5
= 5 + 5( + 2 + 2 + )
3
4
2
= 5( + + 2 + 2 + )
4
2
3
Dari baris terakhir, karena bentuk ( + + 2 + 2 + ) adalah bilangan bulat,
2
4
3
maka jelas bahwa 5 adalah faktor dari ( + 1) − ( + 1). Jadi P(k + 1) benar.
5
Langkah induktif selesai.
Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut
prinsip induksi matematika terbukti bahwa − habis dibagi 5 untuk sebarang
5
bilangan asli .

2
8. ( + 1) < 2 untuk sebarang bilangan asli ≥ 3.
2
Alternatif Penyelesaian
2
Misalkan ( ) adalah pernyataan bahwa ( + 1) < 2 . Perhatikan bahwa
2
ketaksamaan salah untuk = 1 dan 2
35