Page 82 - (EDIT) PENGANTAR ALJABAR LINIER

i. ⟨ + | ⟩ = ∑ ⟨ + | ⟩ =1 = ∑ (⟨ | ⟩ + ⟨ |
⟩) =1 …… (hasil kali dalam di ) = ∑ ⟨ | ⟩ =1 + ∑

⟨ | ⟩ =1 = ⟨ | ⟩ + ⟨ | ⟩

ii. ⟨ | ⟩ = ∑ ⟨ | ⟩ =1 = ∑ ⟨ | ⟩ = =1 = ⟨ | ⟩

Karena adalah ruang hasilkali dalam maka ⟨ | ⟩ ≥ 0 dan ⟨ | ⟩ =
0 ⇔ = 0, ∀ ∈ . Dengan demikian karena ⟨ | ⟩ ≥ 0 maka ⟨ | ⟩

= ∑ ⟨ | ⟩ =1 ≥ 0, selanjutnya karena ⟨ | ⟩ = 0 ⇔ = 0, ∀ ∈

maka ⟨ | ⟩ = ∑ ⟨ | ⟩ =1 = 0 ⇔ = 0, ∀ ∈ .

Berdasarkan Lemma 15 ruang Hilbert adalah suatu ruang hasilkali
dalam. Selanjutnya melalui hasilkali dalam tersebut akan kita definisikan

norm di . Kemudian akan dibuktikan bahwa norm di adalah

lengkap.

Dalam jurnal kedua dengan judul SIFAT- SIFAT RUANG HASIL KALI
DALAM-n KOMPLEKS tersebut membahas sifat hasil kali dalam-n

dalam kompleks, yang merupakan konsep penting dalam geometri untuk
mengukur panjang vektor, sudut antara vektor, dan sifat geometris

lainnya. Penulis membuktikan sifat-sifat ruang hasil kali dalam-n, seperti
sifat permutasi yang menyatakan bahwa jika vektor-vektor dalam ruang

tersebut bebas linier, maka hasil kali dalamnya tidak akan sama dengan

nol. Metode pembuktian menggunakan matriks Gram dan konsep
linieritas. Selain itu, paper memberikan definisi ruang hasil kali dalam-

n kompleks dan membahas solusi trivial dan tak trivial dari sistem

persamaan linier homogen yang terkait dengan ruang tersebut. Dari hasil
kali dalam-n, dapat diinduksi menjadi Norm- n yang menyatakan volume

paralelpipedium yang dibangun oleh sejumlah vektor. Penulis juga
mengucapkan terima kasih kepada Prof. Dr. Hendra Gunawan atas

bimbingan dan ilmunya, serta mencantumkan daftar Pustaka sebagai
referensi. Dengan demikian, artikel ini memberikan pemahaman

mendalam tentang sifat-sifat ruang hasil kali dalam-n dalam kompleks

dan kontribusi pentingnya dalam studi geometri dan aljabar linier.

Jurnal ketiga dengan judul KARAKTERISTIK KEORTOGONALAN
PYTHAGORAS DI RUANG KALI DALAM tersebut membahas

77 | P e n g a n t a r L i n i e r A l j a b a r