Page 77 - (EDIT) PENGANTAR ALJABAR LINIER

Teorema 6.2.5
Jika W adalah sub ruang dari hasil kalidalam berdimensi hingga nyata V maka

komplemen ortogonal dari adalah W, itu adalah( ) =
⊥
⊥ ⊥

Komplemen Orthogonal

Jika A adalah matriks m x n, maka :

• Ruang-nol dari A dan ruang-baris dari A saling komplemen ortogonal di
Rn dengan hasil kali dalam Euclid.

• Ruang-nol dari AT dan ruang-kolom dari A saling komplemen ortogonal
di Rm dengan hasil kali dalam Euclid.

Least Squares

TEOREMA 6.4.2 Untuk setiap sistem linier Ax = b, sistem normal yang
berasosiasi.

= (5)

konsisten, dan semua solusi dari (5) adalah solusi kuadrat terkecil dari Axb.
Terlebih lagi, jika W adalah ruang kolom dari A, dan x adalah sembarang
solusi kuadrat terkecil dari Ax = b, maka proyeksi ortogonal dari b pada W
adalah

=
Basis Ortogonal, Proses Gram-Schmidt dan Dekomposisi QR

Himpunan Ortogonal dan Ortonormal

Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam. Suatu himpunan yang terdiri dari 2
atau lebih vektor di V disebut ortogonal jika setiap pasang vektor yang
berbeda di himpunan tersebut ortogonal.

Himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norm sebesar 1
disebut ortonormal.

Basis Ortogonal dan Ortonormal

Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam, maka:

• Basis yang berisi vektor-vektor ortogonal disebut basis ortogonal .
• Basis yang berisi vektor-vektor ortonormal disebut basis Ortonormal

72 | P e n g a n t a r L i n i e r A l j a b a r