Page 79 - (EDIT) PENGANTAR ALJABAR LINIER
P. 79
E. PROSES GRAM-SCHMDIT
Proses Gram-Schmidt : Prosedur sistematis mengubah basis {u1 , u2 ,
…, un} menjadi basis ortogonal {v1 , v2 , …, vn } Erhardt Schmidt
(1875 - 1959): matematikawan Jerman, murid dari David Hilbert. Jorgen
Pederson Gram : ahli aktuaria (asuransi) dari Denmark.
Proses Gram-Schmidt
Gunakan proses Gram-Schmidt untuk mengubah basis {u1, u2 } berikut
menjadi basis ortonormal u1=(1,2), u2 =(-1,3)
Dekomposisi QR
TEOREMA 6.3.7 Dekomposisi QR
Jika A adalah matriks berukuran mxn dengan vektor-vektor kolom bebas
linier, maka A dapat difaktorkan sebagai A = QR dengan O adalah matriks
berukuran mx a dengan vektor-vektor kolom ortonormal, dan R adalah
matriks segitiga atas yang tidak dapat dibalik.
Perubahan Basis
Masalah perubahan basis: Jika kita mengubah suatu basis untuk ruang
vektor V dari suatu basis lama B ke suatu basis baru B’, bagaimana
hubungan antara vektor koordinat lama [v]B dengan vektor koordinat
baru [v]B’?
Misalkan B ={u1 ,u2 ,…,un } adalah basis lama untuk V dan B’
={v1 ,v2,…,vn } adalah basis baru untuk V. P = [ [v1 ]B | [v1 ]B | … |
[v1 ]B ] Matriks P disebut matriks transisi dari basis B’ ke basis B. [v]B
= P [v]B
Perubahan Basis
Misalkan V adalah ruang vektor berdimensi hingga. Jika P adalah matriks
transisi dari basis B’ ke B untuk V, maka P dapat dibalik dan P-1 adalah
matriks transisi dari B ke B’.
−1
[v]B’ = [v]B
74 | P e n g a n t a r L i n i e r A l j a b a r
