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Capítulo 7

Principios de divisibilidad

Los años bisiestos
ocurren cada 4
años. Son años
múltiplos de 4. Si A es múltiplo de
B, y B múltiplo de C,
Si terminan en 2 ¿A es múltiplo de C?
ceros, las cifras
restantes deben ser
múltiplos de 4.

El número 35 es divisible entre 7, y 7 es divisor
de 35 porque la división de 35 entre 7 es exacta. • 35 7 ⇒ 35 = 7⋅5
0 5
Además, 35 = 7⋅5, por lo que se dice que 35 es
múltiplo de 7 y que 7 es factor de 35, lo que se • 38 7 ⇒ 38 = 7⋅5 + 3
denota así: 35 = 7 : "35 múltiplo de 7". 3 5 38 = 7 + 3

Pero un número no siempre es divisible entre • 38 7 ⇒ 38 = 7⋅6 – 4
otro. Por ejemplo, 38 no es divisible entre 7, sin 4 6 38 = 7 – 4 Ten presente
embargo, 38 se puede expresar como 35 + 3 o Donde 3 + 4 = 7 (módulo) 1. Si A = 9 + 3 ⇒ A = 9 – 6

Resuelve problemas de cantidad (Aritmética) 1. 18 + 30 = 48 n + n + n + ... + n = n También n – n = n 2. (n + a)(n + b) = n + ab
42 – 4, esto es: 38 = 7 + 3 ∨ 38 = 7 – 4.
Si B = 8 – 5 ⇒ B = 8 + 3
PrinciPios fundamentales de la divisibilidad




(n – a)(n + b) = n – ab
6
6
6
Problema 1
Resolución:
3. Divisibilidad aplicada al
26 términos

Calcule el resto de dividir:
binomio de Newton.
3 + (90 + 3) + (990 + 3) +...+ (99...90 +3)
3 + 93 + 993 + 9993 + ... + 99...93
9
9
9
k
26 cifras
= 9 + 3⋅26 = 9 + 78 = 9 + 6
entre 9.
n + r si k par
k
(n – r) =
9 + 6 Resto (n + r) = n + r k k k
Rpta: 6
n – r si k impar
3
2. 8(25) = 200 ⇒ 8(5) = 5 k(n) = n n⋅n = n • (7 + 2) = 7 + 2 = 7 + 1
3


5 5 7 + 1
Prohibida su reproducción total o parcia l
Consecuencias: • (9 – 1) 400 = 9 + 1 400 = 9 + 1
• 4(9 + 2) = 9 + 8 • (12 + 2)(12 + 5)(12 + 3) = 12 + 2⋅5⋅3 = 12 + 6

3
3
12 + 6 • (8 – 3) = 8 – 3 = 8 + 5
k(n + r) = n + kr 8 – 5
1
(n + r ) (n + r )(n + r ) = n + r r r  Geniomatic E.I.R.L. Prohibida su reproducción. D. Leg. N° 822
2
1 2 3
3
Problema 2 Resolución:
Al dividir A entre 8 se obtiene 5 4A + AB = 4(8 + 5) + (8 + 5)(8 + 6)
de residuo. Al dividir B entre 8 se = 8 + 20 + 8 + 30
obtiene 6 de residuo. Calcule el = 8 + 8 – 4 + 8 + 8 + 6
resto de dividir 4A + AB entre 8.
= 8 + 2 Rpta: 2
a a + r
3. Si A = ⇒ A = MCM(a, b) Si A = ⇒ A = MCM(a, b) + r
b b + r
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