Page 152 - 22 Euler

Operando:

;z (iz) 0 (iz) 1 (iz)2 (iz)3 (iz)4 (iz)° (iz)6 (iz)1
e=--+--+--+--+--+--+--+--+
O! l! 2! 3! 4! 5! 6! 7!
(iz)8 zº .z 1 z 2 .z 3 z 4 .z 5 z 6 .z 7 z 8
--+ ... =-+-Z.----i-+-+i----i-+-+ ...
8! O! l! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8!

=( ~~ -;: + :~ -:: + ;~ - ... )+i(~;-;~ + ;~ -;: + .. . )

6. CRIPTOGRAFÍA Y EL PEQUEÑO TEOREMA
DE FERMAT

Sea M un mensaje y E su encriptación. Supondremos que ambos
son números naturales. Llamemos fa la función que va de M a E:
f(M) = E. Para codificar M, el codificador y el descifrador del men-
saje seleccionan dos números primos muy grandes, p y q, y definen
el módulo, al que llamaremos n poniendo n = pq, suponiendo n > M.
Se elije un e, con 1 <e<cp(n) y e primo entre sí con cp(n). La clave
pública está formada por n y e, y la conoce todo el mundo. Como n
es tan grande y no está factorizado, p y q son una incógnita inextri-
cable. Se tiene E=f(M) sMe (mod n). Denominamos clave privada
al par n,d, donde d se elije de manera que de= I (mod cp(n)). Como
p y q son primos, y pq=n, se tiene que cp(n)=(p-l)(q-1); si no se
conocenp y q, y es practicamente imposible conocerlos, no puede
conocerse tampoco cp(n). Así que no se puede conocer d. Pero el
descifrador sí que posee d, pues conoce p y q, y, por tanto, puede
proceder al descifrado: FJd-=(Me)d (mod n) =Med (mod n) aMNcp(nJ+ l
( mod n) , NEN. Se aplica entonces el pequeño teorema de Fermat.
Si a=MN (a es, casi seguro, primo entre sí con n), aplicando el
teorema: Ert s Macp(nl (mod n)sM (modn)=M, yaqueM<n, como
se ha supuesto al principio.
De esta explicación se puede extraer que crear una clave es
relativamente fácil, pues solo se necesitan dos números primos
grandes, p y q, y romperla, muy difícil.

152 ANEXO